Die Abweichung
(Abbildung der Aktivität) formuliert sich als Differenz aus zwei Zählergebnissen .
II. A: = Z1-Z2
Für Z1 und Z2 wird Poissonverteilung angesetzt. dann ist die Standardabweichung s1 von Z1 :
II1 :
s1=Wurzel(Z1)
und die Standardabweichung s2 von Z2 :
II2 :
s2=Wurzel(Z2)
und es lässt sich zeigen die Standardabweichung sigma von A ist dann :
III. sigma = Wurzel (Z1+Z2)
Für die Herleitung von III. kann das
Fehlerfortpflanzungsgesetz auf II. angewendet werden.
Dazu sind also die partiellen Ableitungen von A nach den Variablen Z1
und Z2 zu berechnen
Die partiellen Ableitungen werden mit den entsprechenden Standardabweichungen
s1 und s2 multipliziert und alle quadratisch aufaddiert.
Das ergibt dann die Varianz Var
von der Abbildung A.
Var = (sigma)² = (s1*dA/dZ1)² + (s2*dA/dZ2)²
Wird A=Z1-Z2 partiell nach Z1 abgeleitet dann ist:
dA/dZ1 =1
und nach Z2 abgeleitet:
dA/dZ2 =-1
weil die Beträge der partiellen Ableitungen alle 1 sind
vereinfacht sich in diesem Falle
die Varianz zu:
Var = (sigma)² = s1²+s2²
wegen II1 ; II2 ist s1²=Z1 ; s2²=Z2 und es folgt :
Var = s1² + s2² = Z1 + Z2
also ist Var die Summe der beiden Zählergebnisse
Var = Z1+Z2
wegen:
sigma = Wurzel(Var)
folgt nun wunderbarer Weise die bekannte Gleichung :
sigma = Wurzel(s1²+s2²)
und es ist :
sigma = Wurzel(Z1+Z2) q.e.d.
Dazu ein Rechenbeispiel aus der Praxis der Strahlenmesstechnik :Z1= 790 Messergebnis für Probe
Z2= 525 Messergebnis für Backgr. (sog. Nulleffekt)
Der Nulleffekt Z2 soll vom Messergebnis Z1 abgezogen werden und es soll
dann auch die Standardabweichung der Differenz Z1-Z2 berechnet
werden .
Die Abbildung A(Z1,Z2) ist :
A = Z1-Z2 +-sigma = 790-525 +-sigma
A= 265 +-sigma
wegen II. und III. ist die Standardabweichung von A :
sigma=Wurzel(Z1+Z2)
sigma=Wurzel(790+525)
sigma=36
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