Umweltprojekte

Dies ist ein Projekt von Chetan Reinhard Sannyas Meditationzentrum Deutschland

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WEITERE,
INFORMATIONEN ZUR Fehlerrechnung
(Verwandte Themen : Gamma-Spektrometer Eigenbau, Messung mit Geigerzähler)

(Verdeutlichung einer grundlegenden Rechnungen anhand eines Rechenbeispiels)


Der  auf der vorangegangenen Seite beschriebene Zusammenhang
 
I.  σ =  s3 = Wurzel(X1+X2) 
lässt sich auch mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz anhand der Poissonverteilung herleiten :

Die Abweichung (Abbildung der Aktivität) formuliert sich als Differenz aus zwei Zählergebnissen .  
II. A: = Z1-Z2  
Für Z1 und Z2 wird  Poissonverteilung angesetzt. dann ist die Standardabweichung s1 von Z1 :
II1  :  s1=Wurzel(Z1) 
und die Standardabweichung s2 von Z2 :
II2  :  s2=Wurzel(Z2)
und es lässt sich zeigen die Standardabweichung sigma von A ist dann : 
III.    sigma = Wurzel (Z1+Z2)

Für die Herleitung von III. kann das Fehlerfortpflanzungsgesetz auf  II. angewendet werden.
Dazu sind also die partiellen Ableitungen von A nach den Variablen Z1 und Z2 zu berechnen
Die partiellen Ableitungen werden mit den entsprechenden Standardabweichungen s1 und s2 multipliziert und alle quadratisch aufaddiert. 
Das ergibt dann die Varianz Var von der Abbildung A. 

Var = (sigma)² = (s1*dA/dZ1)² + (s2*dA/dZ2)²

Wird A=Z1-Z2 partiell nach Z1 abgeleitet dann ist:
dA/dZ1 =1
und nach Z2 abgeleitet:
dA/dZ2 =-1
weil die Beträge der partiellen Ableitungen alle 1 sind
vereinfacht sich in diesem Falle
die Varianz zu:
Var = (sigma)² = s1²+s2²

wegen II1 ; II2  ist   s1²=Z1  ; s2²=Z2 und es folgt :

Var = s1² + s2² = Z1 + Z2

also ist Var die Summe der beiden Zählergebnisse 

Var = Z1+Z2

wegen: 
sigma = Wurzel(Var)
folgt nun wunderbarer Weise die bekannte Gleichung :
sigma = Wurzel(s1²+s2²)

und es ist :

sigma = Wurzel(Z1+Z2)   q.e.d.

Dazu ein  Rechenbeispiel  aus der Praxis der Strahlenmesstechnik :   
Gegeben sind zwei Messergebnisse (Zählerstände) die von dem kumulierenden Impulszähler eines Geiger-Müller-Zählers gemessen wurden.                  

Z1= 790  Messergebnis für Probe
Z2= 525  Messergebnis für Backgr. (sog. Nulleffekt)
Der Nulleffekt Z2 soll vom Messergebnis Z1 abgezogen werden und es soll dann auch die Standardabweichung der Differenz Z1-Z2 berechnet werden .      

Die Abbildung A(Z1,Z2) ist :
A = Z1-Z2   +-sigma = 790-525   +-sigma
A= 265  +-sigma
wegen II. und III. ist die Standardabweichung von A :
sigma=Wurzel(Z1+Z2)
sigma=Wurzel(790+525)
sigma=36
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 Hinweise und Anmerkungen erbitte ich per e-mail an : chetan@t-online.de
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(letzte Textänderung auf dieser Seite : 19.10.2011)